Математическая основа майнинга 📈

• Хэш-функции: расскажите, что майнеры решают математические задачи, которые связаны с нахождением числа, называемого "nonce", которое при добавлении к данным блока и применении к ним хэш-функции (SHA-256) создает хэш, соответствующий определённым условиям (например, начинается с определённого числа нулей).
• Пример: объясните, что хэш-функция — это как цифровой отпечаток данных, который невозможно легко предсказать, что делает задачу майнинга очень сложной.
• Теория вероятностей и сложность майнинга: подчеркните, что нахождение правильного хэша — это игра вероятностей. Майнеры по сути подбирают случайные значения (nonce), пытаясь найти то единственное, которое даст нужный хэш. Успешный результат основывается на огромном количестве попыток и мощных вычислениях.
• Сложность задачи: сеть Bitcoin регулирует сложность задачи так, чтобы новый блок находился примерно каждые 10 минут, независимо от мощности всей сети.

В основе процесса нахождения блока в Bitcoin лежит распределение времени ожидания между событиями, и это событие подчиняется экспоненциальному распределению. Экспоненциальное распределение применяется, когда речь идет о моделировании времени до наступления случайного события (в данном случае — нахождения правильного хэша). Давайте разберемся более детально.

Майнеры пытаются найти такой хэш, который удовлетворяет условиям сети (например, хэш начинается с определенного числа нулей). Это требует случайного подбора значения, называемого nonce. Для каждого отдельного майнера вероятность того, что он найдет правильный хэш за определенное количество попыток, постоянна, что соответствует потокам событий с постоянной интенсивностью.
Процесс нахождения блока — это пуассоновский процесс, в котором частота наступления события (нахождение блока) распределена по экспоненциальному закону.

Экспоненциальное распределение описывается следующим уравнением:

P (T≤t)=1−e^λt

Где:

• P (T≤t) — вероятность того, что блок будет найден за время ttt.
• λ — интенсивность или частота появления событий, связанная с мощностью майнинга всей сети (или отдельного майнера), то есть с числом попыток нахождения хэша в секунду.

Экспоненциальное распределение применимо здесь, потому что попытки майнинга происходят непрерывно и случайным образом. Нахождение блока можно представить как время, прошедшее до первого успеха в серии случайных попыток.

Вот график экспоненциального распределения вероятности нахождения блока при интенсивности λ=1/600 (один блок каждые 10 минут). На оси xxx показано время в секундах, а на оси yyy — вероятность того, что блок будет найден за это время. Как видно, вероятность нахождения блока постепенно растет и приближается к 1 с увеличением времени, что соответствует экспоненциальному закону.

Экспоненциальное распределение тесно связано с пуассоновским процессом. В случае майнинга Bitcoin, мы можем сказать, что если блоки находятся с постоянной средней скоростью, то количество найденных блоков за определенный интервал времени следует пуассоновскому распределению. Пуассоновское распределение описывает вероятность того, что в течение определенного времени будет найдено kkk блоков.
Формула для пуассоновского распределения:

P(k,t)=(λt)^k x e^−λt / k!

Где:

• P(k,t)— вероятность того, что будет найдено kkk блоков за время ttt.
• λ — средняя частота нахождения блоков (например, один блок каждые 10 минут, что даёт λ=1/600 блоков в секунду).
• t — время.

Поскольку среднее время нахождения блока в сети Bitcoin настроено на 10 минут (600 секунд), эта временная характеристика является основой интенсивности процесса. Для каждой майнинговой установки (или пула майнеров), которая составляет лишь небольшую часть всей сети, вероятность нахождения блока за короткий интервал времени очень мала, но с большим количеством попыток их совокупная вероятность находит блок.

• Каждый майнер подбирает значения случайным образом, и каждый хэш, который они вычисляют, имеет одинаковую вероятность стать подходящим.
• Нахождение блока похоже на лотерею: у каждого майнера есть шанс выиграть с каждой попыткой.
• Время нахождения блока для одного майнера или пула майнеров непредсказуемо, но в среднем сеть находит один блок каждые 10 минут.
• Так как скорость майнинга по сети остается относительно постоянной благодаря динамическому изменению сложности, экспоненциальное распределение описывает распределение времени между нахождением блоков.

Представим, что майнинговая ферма обладает 1% от общей мощности сети. Вероятность того, что она найдет блок, остается небольшой для каждой отдельной попытки. Однако чем дольше они будут майнить, тем выше шанс нахождения блока. Экспоненциальное распределение говорит о том, что вероятность нахождения блока в первые несколько минут очень мала, но со временем эта вероятность возрастает экспоненциально.
Основная идея заключается в том, что каждая попытка найти блок — это случайное событие, и время до нахождения правильного хэша описывается экспоненциальным распределением, в котором интенсивность (λ) зависит от вычислительной мощности сети. Это распределение применимо для описания вероятности нахождения блоков как на уровне сети, так и для каждого отдельного майнера.

Майнинг Bitcoin можно описывать с помощью нескольких математических и статистических моделей, которые охватывают различные аспекты процесса. Помимо экспоненциального и пуассоновского распределений, важными для понимания являются законы, касающиеся распределения сложности, энергетических затрат, сетевой экономики и теории игр. Вот некоторые из них:

Закон больших чисел в статистике гласит, что при увеличении числа независимых испытаний (в нашем случае — хэш-функций, которые вычисляются майнерами) среднее значение наблюдаемых результатов будет стремиться к ожидаемому значению. В майнинге Bitcoin это означает, что чем больше майнеров участвует в процессе, тем ближе время нахождения блоков будет к ожидаемым 10 минутам.
На практике это проявляется в том, что в сети с большим количеством участников (большой хешрейт) временные промежутки между найденными блоками становятся более стабильными и близкими к ожидаемым значениям, хотя каждый отдельный майнер или пул имеет непредсказуемый результат.

Пуассоновское распределение не только описывает количество блоков, найденных за определенный интервал времени, но также может использоваться для описания редких событий, таких как нахождение нескольких блоков подряд одним майнером. Если майнинг блоков рассматривать как поток редких событий, то распределение числа найденных блоков за интервал времени подчиняется пуассоновскому закону:

P(k,t)=(λt)ke−λtk!P(k, t) = \frac{{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}}{k!}P(k,t)=k!(λt)ke−λt​

Где kkk — количество найденных блоков, а ttt — интервал времени.

Геометрическое распределение описывает количество неудачных попыток, необходимых до первой удачи, если вероятность успеха на каждой попытке постоянна. Для майнинга это может применяться на уровне отдельных майнеров:

• Каждый майнер совершает множество неудачных попыток найти правильный хэш.
• Геометрическое распределение можно использовать для моделирования количества попыток, которые майнер должен сделать, прежде чем найти блок.

Формула для геометрического распределения:

P (X=k) = (1−p)^k−1 x p

Где p — вероятность успешной попытки (нахождения блока),
k — количество неудачных попыток до первой удачи.

Мощность сети (или хешрейт) распределяется между всеми участниками майнинга пропорционально их вычислительным ресурсам. Это означает, что каждый майнер или пул майнеров имеет вероятность нахождения блока, пропорциональную его доле в общем хешрейте сети. Более мощные майнеры будут находить блоки чаще, чем менее мощные, но всё равно случайным образом в соответствии с вероятностной моделью.

Майнинг можно частично моделировать как марковский процесс, где каждое следующее состояние сети (например, сложность майнинга или количество участников) зависит только от текущего состояния, а не от предшествующих состояний. Каждый новый блок в блокчейне зависит от предыдущего, но сам процесс нахождения блоков и майнинга является независимым, что свойственно марковским процессам.

Помимо вероятностных распределений, в майнинге важны экономические и энергетические модели. Например:

• Закон убывающей доходности (или закон предложения и спроса): при увеличении числа майнеров конкуренция за награду увеличивается, а доход каждого отдельного майнера уменьшается. Это влияет на рентабельность майнинга, особенно с учётом таких факторов, как стоимость электроэнергии.
• Закон Кобба-Дугласа в производстве: эта экономическая модель может применяться для описания отношений между затратами на ресурсы (например, электроэнергию и оборудование) и полученными результатами (биткоинами). Она помогает оценить эффективность использования ресурсов в майнинге.

Майнинг также может быть описан с точки зрения теории игр, особенно когда речь идет о стратегическом поведении участников сети. Например, майнеры могут вступать в кооперацию в пулах, чтобы уменьшить дисперсию своих доходов.

• Равновесие Нэша: в контексте Bitcoin майнеры достигли такого состояния, при котором никто не может изменить свою стратегию (например, выйти из пула или увеличить свои мощности) для получения большего дохода, не влияя на баланс всей сети.
• Атака 51%: с точки зрения теории игр, если кто-то получит контроль над более чем 50% вычислительной мощности, они могут изменить поведение сети в свою пользу, но экономические и репутационные издержки этого делают такую атаку крайне маловероятной.

Этот закон в контексте майнинга говорит о том, что сложность майнинга постоянно увеличивается по мере роста вычислительных мощностей сети. Сложность алгоритма автоматически корректируется сетью каждые 2016 блоков (~каждые 2 недели) так, чтобы поддерживать среднее время нахождения одного блока около 10 минут. Это отражает динамический характер сети Bitcoin.

Каждые 210 000 блоков (примерно каждые 4 года) происходит уменьшение вознаграждения за найденный блок вдвое. Это явление известно как халвинг, и оно заложено в экономическую модель сети Bitcoin, чтобы ограничить максимальное количество биткоинов в 21 миллион.
Таким образом, майнинг описывается целым рядом математических, экономических и вероятностных моделей, что делает его крайне интересным процессом с точки зрения как технологии, так и теории.